20101026 - 화 - 부울대수, 카르노맵프로그램

 책 : 디지털회로실기

• 전위차
• 부울대수
• 진리표, 카르노맵
• 카르노맵 프로그램

필기 정리

전위차 : +5V  <----->  GND  <-----> -5V

각회로별 받아들이는 전압값이 다르다. 

Boolean algebra (부울대수)

 

불 대수

위키백과 ― 우리 모두의 백과사전.

불 대수(Boolean algebra)는 조지 불이 19세기 중반에 고안한 논리 수학의 대표적 형태이다. 불 격자(Boolean lattice)나 불 속(束)이라고도 한다. 불 대수의 연구는 대수적 구조로서 속의 이론을 발전시키는 하나의 계기가 되었다. 수학적인 엄밀한 정의는 다음에 기술한다.

디지털 회로 설계에서는 필수적인 지식이다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립 플랍 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.)

높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.

불 대수의 기본 연산(논리 연산)은 논리 부정 ¬ 또는 '(not), 논리합 ∨(or), 논리곱 ∧(and)로 출발된다. 이러한 연산 합성으로부터 만들어지는 연산 중 대표적인 것으로 배타적 논리합(xor)이 있다. 또한, 논리합의 부정인 NOR, 논리곱의 부정인 NAND 등의 연산도 존재한다.

일반적으로, AND와 NOT, 또는 OR과 NOT을 이용하여 모든 논리 회로를 만들 수 있는데, NOR이나 NAND를 이용하면 NOT도 만들 수 있으므로 NAND 또는 NOR 중 하나만으로 논리 회로를 구현할 수 있다.

불 대수를 불 격자(불 속)라고 부르는 이유는, ∨, ∧에 대해서 분배 가능한 격자가 되기 때문이다. 즉, 다음 법칙이 성립한다:

1. 멱등법칙(idempotence): x ∧ x = x ∨ x = x,
2. 교환법칙(commutativity): x ∧ y = y ∧ x, x ∨ y = y ∨ x,
3. 결합법칙(associativity): (x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z), (x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z),
4. 흡수법칙(absorption): (x ∧ y)∨ x = x, (x ∨ y)∧ x = x,
5. 분배법칙(distributivity): (x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z), (x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z).

또한 불 대수에서는 다음 조건이 성립한다:

• 참을 1 거짓을 0으로 하여, 각 x 항과 반대되는 ¬x 항이 존재할 때, (x ∧ ¬x = 0), (x ∨ ¬x = 1)을 만족한다.

수학에서는 이러한 조건을 공리(公理, axiom)라 하여, 그것을 만족하는 집합을 불 격자(속)나 불 대수라고 한다.

A + 0 = A

A + 1 = 1

A · 0 = 0

A · 1 = A

A + A = A

A + |A = 1

A · A = A

A · |A = 0

||A = A

A + AB = A

A + |AB = (A + |A)(A + B) = A + B

* 바리스터 : 급격한 전압이 인가시 저항 극대화되어 전류차단

(도시바 팩스 관련 이야기에서 나왔다. 번개 맞았을때 삼성 팩스는 타서 구멍이 뚫리는데, 도시바 제품은 멀쩡!!)

 

논리식 : Y = A + B

<카르노맵 프로그램>

1번 : 카르노 도

2번 : 논리식

프로테우스 

1026a.DSN

논리식 Y = A + B을 프로테우스로 만들어 보았다.

OR게이트로 A, B 두개의 신호가 들어와서 Y위치에 있는 LED 점등으로 확인한다.

<논리식 이해>

 

[그림1] 카르노도 

A 와 B가 모두 LOW일때 작동이 되지 않는다.

A or B, 혹은 A B모두 High일때는 작동이 된다

[그림2] A 와 B의 값이 LOW일때

LOW가 된 상황 : 각각의 스위치가 ON이 되어 소트가 된다. 전류가 모두 접지로 흘러, 전압이 0이 된다

[그림3] A : High, B : Low, Y : High

[그림4]  A : Low , B : High , Y : High

[그림5] A : High,  B : High , Y : High

•  스위치(A,B) : 주황색 표시 
•  LED(Y) : 빨간색 표시

카르노맵 프로그램

프로그램 다운로드

 다운로드 

캡처 이미지

쪽지 문제

문제 : 휴대폰을 만드는 회사 A,B,C 라인이 실시간으로 가동되고 특정 시간 때에 각 라인 센서에 값이 다음과 같이 주어질 때 

1. 수학적인 조건식을 만들고,

2. Karnaugh map을 완성하여 결과값을 산출하고,

3. 회로를 설계 하시오.

* 주어진 센서값 진리표

_____________________

C    B    A     |    Y

0     0     0    |    1

0     0     1    |    0

0     1     0    |    0

0     1     1    |    0

1     0     0    |    1

1     0     1    |    0

1     1     0    |    1

1     1     1    |    1

--------------------

답)))))))))))))))))))))

1. 수학적 조건식 및 카르노맵 

Map6.km

을 진리표에서 구해서, 수학적으로 푼다. 중학수학ㅋ

2. 회로설계

1026b.DSN